ภาคตัดกรวย

โดยนายพสิษฐ์  ประเสริฐศรี

 

ในบทเรียนเรื่องภาคตัดกรวย เราจะพบสมการของกราฟต่างๆ โดยสามารถแบ่งสมการได้เป็นสองประเภทคือ

1.สมการทั่วไป

Ax2+By2+Cx+dy+E=0

2.สมการมาตรฐาน

โดยรูปสมการจะแตกต่างกันตามชนิดของกราฟและสามารถบอกลักษณะของกราฟได้ ได้แก่

 

1. สมการพาราโบลา
1. (y-k)2 = a(x-h)

โดยจุดยอดของกราฟอยู่ที่จุด (h,k) และมีโฟกัสอยู่ที่ (h+a/4,k)
สมการไดเรกทริกซ์คือx = h-a/4 แกนของพาราโบลา เป็นเส้นตรงขนานกับแกน x มีสมการคือ y=k และ
กราฟเปิดด้านขวา เมื่อ a=4c
กราฟเปิดด้านซ้ายเมื่อ a=-4c
ความกว้างของพาราโบลา ณ โฟกัส เท่ากับ 4c

 

2.(x-h)2 = a(y-k)

โดยจุดยอดของกราฟอยู่ที่จุด (h,k) และมีโฟกัสอยู่ที่ (h,k+a/4)
สมการไดเรกทริกซ์คือy = k-a/4 แกนของพาราโบลา เป็นเส้นตรงขนานกับแกน y มีสมการคือ x=h และ
กราฟหงายเมื่อ a = 4c
กราฟคว่ำเมื่อ a = -4c

 

2. สมการวงกลม
(x-h)2 + (y-k)2 = r2


โดย(h,k)คือจุดศก. r คือรัศมี

 

3. สมการวงรี
1.

มีแกนเอกขนานแกน x มีแกนโทขนานแกน y
โดย(h,k) คือจุดศูนย์กลาง มี focus ที่ (h+c,k) และ (h-c,k)
ผลบวกของระยะทางจากจุดบนวงรีไปยัง focusทั้งสองเท่ากับ 2a
โดย 0 < c < a และ

 

2.

มีแกนเอกขนานแกน y มีแกนโทขนานแกน x
โดย(h,k) คือจุดศูนย์กลาง มี focus ที่ (h,k+c) และ (h,k-c)
ผลบวกของระยะทางจากจุดบนวงรีไปยัง focusทั้งสองเท่ากับ 2a
โดย 0 < c < a และ

 

4. สมการไฮเพอร์โบลา
1.  

โดยแกนตามขวางขนานแกน x
จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (h,k)
โฟกัสอยู่ที่(h+c,k) และ (h-c,k)
โดย 0 < a < c และ

 

2.  

ดยแกนตามขวางขนานแกน y
จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (h,k)
โฟกัสอยู่ที่ (h,k+c)และ (h,k-c)
โดย 0 < a < c และ

   จากที่กล่าวมาจะพบว่า การที่เราจะรู้คุณสมบัติต่างๆ ของกราฟได้เราต้องจัดสมการให้อยู่ในรูป สมการมาตรฐาน ซึ่งก็มีขั้นตอนในการจัดที่ยุ่งยากพอควร
 
ในที่นี้เราจะแสดงวิธีธรรมดาให้ดูก่อน แล้วจะมีวิธีลัดให้ด้วยครับ

 

 โดยปกติเค้าทำกันยังไงเอ่ย

 




 

 มาทำวิธีลัดกันเถอะ

 

จะเห็นว่าในการจัดรูปสมการแต่ละครั้งเราต้องใช้หลักของกำลังสองสมบูรณ์ซึ่งยาวและยาก เราอาจใช้วิธีลัดจัดรูปให้ง่ายได้ดังนี้

Ex.1    x2+y2-2x-4y-4=0
1.
หาจุด(h,k)โดย diff x = 0 จะได้ h และ diff y = 0 จะได้ k ดังนี้
x2 -2x
  diff   2x-2=0   x=1
y2 -4y
  diff   2y-4=0   y=2

   
เราจะได้ (h,k)=(1,2)
2.
นำจุด (h,k) ที่ได้ไปแทนในสมการจะได้      (x-1)2+(y-2)2 = 4+...

3.
หาว่าเราต้องบวกเข้าไปด้านขวาเท่าไรโดย ให้แทนค่าตัวแปรทั้งสองเป็นศูนย์
(0-1)2+(0-2)2 = 5
บวกเข้าไปด้านขวา 5

    (x-1)2+(y-2)2 = 9

Ex.2   9x2-16y2-18x-64y-199=0
1.
หาจุด(h,k)โดย diff x = 0 จะได้ h และ diff y = 0 จะได้ k ดังนี้

diff x (9)(2)x-18=0 x=1
diff y (-16)(2)y-64=0 y=-2
   
ดังนั้น (h,k)=(1,-2)

2.
แทนค่า (h,k) ไปในสมการ
     9(x-1)2-16(y+2)2=199

3.
แทนค่าตัวแปรเป็นศูนย์ เพื่อหาว่าต้องบวกเข้าด้านขวาเท่าไร
     9(0-1)2-16(0+2)2=9-64=-54
         
นำ -54 ไปบวกเข้าด้านขวา
          9(x-1)2-16(y+2)2=144

            

Ex.3    y2-6y+2x+14=0
  
จัดรูป
    (y-3)2 = -2x-13
  diff y = 0 2y-6=0
y=3 ดังนั้น k=3   
  
แทนค่าkไปที่พจน์ y
    (y-3)2=-2x-13
  
หาว่าบวกเข้าไปด้านขวาเท่าไร โดยแทน y=0
   (0-3)2 = 9
นำ 9 ไปบวกเข้าด้านขวา
     
(y-3)2 = -2x-4
     (y-3)2 = -2(x+2)

Ex.4   9x2+16y2+18x-64y=71
หา (h,k) diff x = 0 (9)(2)x+18=0 x=-1
diff y = 0 (16)(2)y-64=0 y=2
แทนลงไปในสมการ
9(x+1)2+16(y-2)2 = 71
หาว่าต้องบวกเข้าไปด้านขวาเท่าไรโดยแทนตัวแปรเป็น 0
9(0+1)2+16(0-2)2= 73
บวกเข้าด้านขวา 73
9(x+1)2+16(y-2)2=144

 

จากตัวอย่างจะเห็นว่าวิธีจัดรูปสมการแบบลัดนี้ ง่ายและสะดวกกว่าวิธีธรรมดามากโดยเวลาจริงๆ เราจะทำเร็วกว่านี้ แต่ในตัวอย่างได้แสดงวิธีทำไว้อย่างละเอียดเพื่อให้ผู้อ่านเข้าใจ ถ้ามีตรงไหนที่ยัง ไม่เข้าใจ กรุณาสอบถามได้ครับ